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Programación Lineal- Modelo y Aplicaciones

La Programación Lineal

• Modelo matemático
  
• Optimización con recursos limitados

Aplicaciones de la PL

• Ejército
  
• Industria
• Transportación
  
• Economía
  
• Sistemas de salud
  
• Ciencias conductuales
  
• Ciencias sociales
  

Programación Lineal - Modelo

Mediante un ejemplo se puede mostrar el modelo de PL.

Ejemplo: Una empresa que manufactura pinturas.

• Produce pinturas para interiores y exteriores.
• Lo hace a partir de dos materias primas: M1 y M2.
• La siguiente tabla proporciona los datos básicos de problema.

Restricciones:

• Encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas.


• La demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de 1 tonelada.

Problema Objetivo:

• La empresa quiere determinar la mezcla óptima de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria.

Tres elementos básicos

• Variables de decisión que tratamos de determinar
• Objetivo (meta) que tratamos de optimizar
• Restricciones que necesitamos satisfacer

Variables

• X1: Toneladas diarias producidas de pintura para exteriores
• X2: Toneladas diarias producidas de pintura para interiores

OBJETIVO.- Maximizar la utilidad

• Z: Utilidad total diaria de la pintura en miles de dólares
• Max Z = 5 X1 + 4 X2

RESTRICCIONES.- Limitantes del empleo y demanda de la materia prima.

RESTRICCIONES de disponibilidad

• Empleo de M1 : 6X1 + 4X2 ≤ 24
• Empleo de M2 : X1 + 2X2 ≤ 6

RESTRICCIONES de demanda

• Encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas.
• X2 ≤ 2
• La demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de 1 tonelada.
• X2 – X1 ≤ 1

RESTRICCIÓN implícita

• Las variables deben ser NO-NEGATIVAS
• X1 ≥ 0
• X2 ≥ 0

Así, el modelo completo de Programación Lineal (PL) a resolver es:

• Max Z = 5 X1 + 4 X2

Sujeto a:

• 6X1 + 4X2 ≤ 24
• X1 + 2X2 ≤ 6
• -X1 + X2 ≤ 1
• X2 ≤ 2
• X1, X2 ≥ 0

Suposiciones de Linealidad

• Proporcionalidad
• Aditividad

Cualquier solución que satisface todas las restricciones del modelo es una …

… solución factible

Modelo Gráfico de PL

El problema empleado de ejemplo puede reescribirse mediante una tabla en la que las entradas representan los coeficientes de las variables, los renglones corresponden a la función objetivo y las restricciones y las columnas a las variables en cuestión, la condición mediante la que se relacionan y el valor o límite al que están sujetas. También se muestra la gráfica correspondiente al espacio de soluciones factibles

Pare el caso en que se considere una solución factible: (x, y) = (3, 1):

• Lo que realmente interesa es ...
• ... la SOLUCIÓN ÓPTIMA FACTIBLE,
• que produce ...
• ... la MÁXIMA UTILIDAD TOTAL.